Controllability
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controllability 혹은 reachability란 어떤 system에 입력을 가해서 초기 state \(x_0\)로 부터 터미널 state \(x_f\) 로 보낼 수 있는지에 대한 것이다.
System의 dynamic equation으로부터 state transition matrix를 얻을 수 있는데, 보통 controllability (reachability)의 증명은 이 state transition의 관계식으로부터 시작된다.
예를들어 Linear system의 경우 dynamic equation은 일반적으로 아래와 같이 vector와 matrix를 이용해 나타낸다.
\[\dot{x}=Ax+Bu\](x: state vector, u: input vector, A,B: system matrices)
이를 적분하면, 터미널시간 \(t_f\)의 state는 아래와 같이 얻어질 수 있다.
\[x(t_f)=e^{At}x(t_0)+\int_{t_0}^{t_f}{e^{At}B(\alpha)u(\alpha)}d\alpha\]위 수식 우변항에 있는 \(e^{At}x(t_0)\) 항를 좌변항으로 넘기면,
\[x(t_f)-e^{At}x(t_0)=\int_{t_0}^{t_f}{e^{At}B(\alpha)u(\alpha)}d\alpha\]따라서 위 조건을 만족시키는 u가 존재하는지에 대한 해석이 controllability(or reachability) 이다. (위와 같은 선형시스템의 경우엔 vector \(x(t_f)-e^{At}x(t_0)\in\) Range \(\{e^{At}B(\alpha)\}_{t_0\le\alpha\le t_f}\) 일 경우 controllable.)
Linear time invariant(LTI) system에서는 쉽게 해석이 되지만, LTV system에서는 해석이 복잡하며, 새로운 유형의 system이 제안될 때마다 controllability issue는 필연적으로 일어나게 된다.
Continuous-time system에서 Controllability와 Reachability는 동일하다.
이 둘 개념에 대한 정의는 연구자마다 조금씩 다르다.
주로 미국의 서부에서는 둘을 비슷하게 정의하는 것으로 보이고, 미국의 동부에서는 둘을 철저히 다르게 구분하는 것으로 보인다.
다르게 정의하는 부분에 대해 살펴보면,
- Reachability: 특정 state \(x_f\)가 어떤 입력에 의해 원점으로부터 도달 가능하다면 Reachable.
- Controllability: 아무 초기 state \(x_0\)가 어떤 입력에 의해 원점으로 갈 수 있다면 Controllable.
매우 비슷해 보이지만 약간의 차이가 있다.
Controllability 개념이 더 상위 개념으로서 reachability를 포함하고 있다고 할 수 있다.
Reachbility 개념은 특정 state 혹은 그를 포함하는 set을 기준으로 reachable 여부를 판단하지만, Controllability의 경우 초기치가 어떤 값이든지 0으로 보낼 수 있다면, 이는 어떤 state에든 reachable하다는 이야기가 된다.
즉, 어떤 state \(x_f\)가 reachable 하다고 해도 controllable 하다 라고 이야기 할 수 없다. 하지만 controllable하다면 \(x_f\)는 reachable하다.
인줄 알았으나, 틀렸다. (19/9/27)
선형시스템에서는 어느정도 들어맞는 이야기 일 수 있겠지만, 비선형시스템의 경우 둘의 상관관계는 간단히 설명할 수 없다. 1) 특정 state 가 Reachable 해도 시스템이 controllable 하지 않을 수 있고 (REF) 2) 시스템이 controllable 해도 특정 state는 reachable 하지 않을 수 있다. (state를 0으로 보내는 것은 가능하지만, 원점에 있는 상태를 특정 최종 상태 \(x_f\) 로 보내는 것은 불가능할 수 있다는 뜻이다.)