Dissipativity and Passivity
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Robust control, Nonlinear system 을 공부할 때 반드시 나오는 개념
Dissipativity: 소모성
Passivity: 수동성
어떤 시스템이 소모성이다, 수동성이다? 생각해보면 간단하다.
시스템이 가지고 있는 (혹은 공급되는) 에너지를 소모하는 시스템이라 하면 소모성.
시스템이 스스로 뭔가를 하지 않고 (active 하지 않고, 에너지를 만들어내지 않고) 수동적으로만 움직인다면 수동성이라 한다.
간단한 Spring-Mass-Damper 시스템을 살펴보자.
\[\begin{eqnarray} \dot{x}_1&=&x_2\\ \dot{x}_2&=&-\frac{k}{m}x_1-\frac{b}{m}x_2+\frac{f}{m}\\ y&=&x_2 \end{eqnarray}\]위와 같은 spring-mass-damper 시스템에서의 에너지는 아래와 같이 운동에너지와 위치에너지의 합으로 나타내진다.
\[V=\frac{1}{2}kx^2_1+\frac{1}{2}mx^2_2\]이와 같이 위의 시스템이 가지고 있는 에너지 함수를 Storage function 이라고 부르기도 한다. (에너지를 저장하고 있다하여 저장함수)
이러한 저장함수의 시간에 따른 변화량 (시간에 대한 미분)을 살펴보면
위의 관계식에 대해 supply rate 를 \(w(t)=-\tilde{b}y(t)+y(t)f(t), 0<\tilde{b}\le b\) 이라고 정의하면, 아래와 같이 storage function과 supply rate 간의 관계를 얻어낼 수 있다. 참고
\[V(t_1)-V(t_0)\le\int^{t_1}_{t_0}{w(t)}dt\]위 수식은 \(t_0\) 시점부터 \(t_1\) 시점까지의 에너지 변화량과 시스템에 공급된 에너지와의 관계를 나타냄을 알 수 있다.
시스템의 에너지 변화량이 공급된 에너지량보다 작거나 같을 때, 우리는 해당 시스템을 소모적(dissipative) 이라고 이야기한다. 또한 위의 부등식을 dissipation inequality (소모 부등식) 이라 정의한다.
위 spring-mass-damper 시스템에서 damping coefficient 가 0일 때 \((b=0)\) supply rate \(w(t)=yf\) 가 된다. 이렇게 supply rate 가 input 과 output 의 곱의 형태이며, 해당 supply rate가 위의 소모부등식을 만족할 때, 시스템이 passive 하다. 라고 이야기한다.
즉, passivity 는 dissipativity 의 특별케이스이다.
위의 예제에서는 시스템에 에너지를 소모하는 항(e.g., damping) 이 없음에도 불구하고 input 을 통해 에너지가 공급(혹은 y를 통해 소모)되지 않을 때 (u=0) Storage function 이 증가하지 않는다. 이는 시스템의 input이 bound 되어 있을 때, output도 bound 되어 있음을 이야기 하며, 이는 시스템이 안정함을 의미한다.
전기회로로 이해하자면, 회로에 active 소자 (energy source: current, voltage)가 없고, 수동소자(passive elements)인 R,L,C 만으로 이루어진 시스템으로 이해할 수 있다.